在一个 n x n 的国际象棋棋盘上，一个骑士从单元格 (row, column) 开始，并尝试进行 k 次移动。行和列是 从 0 开始 的，所以左上单元格是 (0,0) ，右下单元格是 (n - 1, n - 1) 。 象棋骑士有8种可能的走法，如下图所示。每次移动在基本方向上是两个单元格，然后在正交方向上是一个单元格。 每次骑士要移动时，它都会随机从8种可能的移动中选择一种(即使棋子会离开棋盘)，然后移动到那里。 骑士继续移动，直到它走了 k 步或离开了棋盘。 返回 骑士在棋盘停止移动后仍留在棋盘上的概率 。

有 n 位乘客即将登机，飞机正好有 n 个座位。第一位乘客的票丢了，他随便选了一个座位坐下。 剩下的乘客将会： • 如果他们自己的座位还空着，就坐到自己的座位上， • 当他们自己的座位被占用时，随机选择其他座位 第 n 位乘客坐在自己的座位上的概率是多少？

一个正整数如果能被 a 或 b 整除，那么它是神奇的。 给定三个整数 n , a , b ，返回第 n 个神奇的数字。因为答案可能很大，所以返回答案 对 109 + 7 取模 后的值。

给你一个正整数 n ，请你计算在 [1，n] 范围内能被 3、5、7 整除的所有整数之和。 返回一个整数，用于表示给定范围内所有满足约束条件的数字之和。

给你一个整数 n，请返回长度为 n 、仅由元音 (a, e, i, o, u) 组成且按 字典序排列 的字符串数量。 字符串 s 按 字典序排列 需要满足：对于所有有效的 i，s[i] 在字母表中的位置总是与 s[i+1] 相同或在 s[i+1] 之前。

给你两个 正 整数 startPos 和 endPos 。最初，你站在 无限 数轴上位置 startPos 处。在一步移动中，你可以向左或者向右移动一个位置。 给你一个正整数 k ，返回从 startPos 出发、恰好 移动 k 步并到达 endPos 的 不同 方法数目。由于答案可能会很大，返回对 109 + 7 取余 的结果。 如果所执行移动的顺序不完全相同，则认为两种方法不同。 注意：数轴包含负整数。

给你 n 笔订单，每笔订单都需要快递服务。 计算所有有效的 取货 / 交付 可能的顺序，使 delivery(i) 总是在 pickup(i) 之后。 由于答案可能很大，请返回答案对 10^9 + 7 取余的结果。

给你两个整数 n 和 k。 最初，你有一个长度为 n 的整数数组 a，对所有 0 <= i <= n - 1，都有 a[i] = 1 。每过一秒，你会同时更新每个元素为其前面所有元素的和加上该元素本身。例如，一秒后，a[0] 保持不变，a[1] 变为 a[0] + a[1]，a[2] 变为 a[0] + a[1] + a[2]，以此类推。 返回 k 秒后 a[n - 1] 的值。 由于答案可能非常大，返回其对 109 + 7 取余 后的结果。

请你帮忙给从 1 到 n 的数设计排列方案，使得所有的「质数」都应该被放在「质数索引」（索引从 1 开始）上；你需要返回可能的方案总数。 让我们一起来回顾一下「质数」：质数一定是大于 1 的，并且不能用两个小于它的正整数的乘积来表示。 由于答案可能会很大，所以请你返回答案 模 mod 10^9 + 7 之后的结果即可。

给你一个整数 n ，统计并返回各位数字都不同的数字 x 的个数，其中 0 <= x < 10n 。

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。 问总共有多少条不同的路径？

给你一个下标从 0 开始、由 正整数 组成的数组 nums。 将数组分割成一个或多个 连续 子数组，如果不存在包含了相同数字的两个子数组，则认为是一种 好分割方案 。 返回 nums 的 好分割方案 的 数目。 由于答案可能很大，请返回答案对 109 + 7 取余 的结果。